Несмотря на то, что явление динамического хаоса в детерминированных системах было обнаружено совсем недавно (конец 80-х гг. прошлого века), уже сформированы основные направления его применения. Как оказалось, использование хаоса весьма продуктивно не только в радиотехнике, но и в некоторых других областях науки, например, в медицине и биологии. Изучение свойств и закономерностей динамического хаоса позволило по иному взглянуть на некоторые неразрешенные вопросы теоретического характера, кроме того, это интереснейшее явление, судя по всему, найдет и широкое практическое применение. Этим объясняется интерес коллектива нашего сайта к данной теме и мы надеемся, что этот вопрос будет исключительно интересен нашим читателям.
Мы планируем предложить Вашему вниманию цикл из трех статей, посвященных хаосу в радиоэлектронных системах передачи информации, т.к. сведения по данной теме на достойном уровне можно почерпнуть из публикаций в научных изданиях. Однако темы статей по хаосу имеют разрозненный и узкоспециализированный характер, что неприемлемо для широкой аудитории. Поэтому в предлагаемом цикле статей на нашем сайте Вы найдете начальную информацию о детерминированном хаосе, а заинтересовавшимся какими-то конкретными сторонами его применения мы предлагаем обширную литературу.
Данная статья посвящена общим понятиям и методам формирования хаос-процессов, а также проанализированы их основные свойства и характеристики. Она является вводной и, пожалуй, наиболее объемной. Вторая статья предположительно будет посвящена обзору современных тенденций в применении хаоса, которые предложены к настоящему моменту учеными и инженерами. В третьей статье будут предложены структурная и функциональная схемы одного практического устройства передачи информации, использующего хаос (точнее псевдохаос), сформированный цифровыми методами.
Определение термина «хаос» и основные принципы его формирования
Точное определение термина "хаос" пока отсутствует, но смысл, который вкладывается в это слово, ясен. Динамический (детерминированный) хаос - сложное непериодическое движение, порождаемое автоколебательными системами с существенно нелинейной обратной связью.
С открытием явления динамического хаоса возник новый перспективный класс сигналов с хорошими свойствами и характеристиками. Изучение работы подобных систем и их внутренних закономерностей возможно с использованием стохастических методов анализа и понятий теории вероятностей. Стохастические методы взяты учеными на вооружение уже более ста лет назад, однако их важность и особое место подобных процессов в природе стали ясны лишь в последние десятилетия. Теория стохастических методов в естественных науках изложена в [1]. Основное свойство хаотических сигналов – это высокая воспроизводимость при сильной стохастизации этих колебаний. Это значит, что несмотря на схожие со случайными процессами характеристики, хаос в то же время в целом предсказуем. Это открывает широкие возможности для применения хаотических колебаний в теории и практике передачи информации. Сохраняя все положительные качества широкополосных систем передачи информации – возможность работы при низких отношения С/Ш, высокую помехозащищенность, устойчивость к явлению многолучевости, – широкополосные системы с хаос-сигналами практически гарантируют невозможность “подслушивания” в силу своей непериодичности.
Детерминированный хаос есть решение нелинейного дифференциального уравнения (или их системы), описывающего некоторую автоколебательную систему. На выходе этой системы воспроизводится непериодический процесс (напряжение, ток), по своим статистическим характеристикам близкий к шумовому, который и является решением. В отличие от цифровых схем формирующих ПСП, хаос реализуется аналоговыми методами.
В [5] предлагается формировать ШХС в системах, в которых одновременно присутствует как диссипативная, так и реактивная нелинейность, а также задержка в петле ОС (рис.1).
Рис.1. Структурная схема кольцевой автоколебательной схемы с запаздыванием
Механизм колебаний, сопровождающийся стохастизацией, описывается следующим комплексным интегральным уравнением
(1) где 
– комплексный сигнал;
– импульсная характеристика фильтра;
– амплитудно-фазовая нелинейность.
Приведенная схема является типовой для формирователей хаос-процессов. Фильтр и элемент задержки необязательные компоненты хаос-генератора, однако они всегда неявно присутствуют в реальном устройстве (паразитные реактивности в роли ФНЧ, и отличная от нуля длина проводников). Для формирователя хаос-процесса обязательным является наличие нелинейной ОС, в противном случае на выходе будут наблюдаться регулярные, отличные от шумовых, колебания. Однако для повышения стабильности работы системы передачи информации (СПИ) и с целью применения современной цифровой элементной базы при разработке практической системы нам необходимо иметь не непрерывнозначный, а квантованный сигнал (в частности бинарный) с изменением своих мгновенных значений в строго определенные моменты времени, задаваемые генератором тактовых импульсов (ГТИ). Об этом будет сказано в последней статье при применении подобного генератора в конкретном устройстве, а также затронем особенности хаос-сигналов подобным образом.
Рассмотрим свойства хаос-процесса, сформированного нелинейной динамической системой с нелинейностью вида sin(x) путем численного моделирования.
Математическая модель формирователя хаос-процесса – это его описание математическим языком, обеспечивающее имитацию их работы на уровне, достаточно близком к реальному поведению, получаемому при натурном испытании. Точность результатов моделирования определяется соответствием между реальными процессами и принятой моделью. Численное моделирование перечисленных выше устройств и систем будем проводить в несколько этапов, воспользовавшись мощной системой компьютерной математики MATLAB и ее основным расширением – системой математического моделирования Simulink.
Цель моделирования: определить степень применимости в СПИ сигналов, формируемых в системах с существенно нелинейной хаотической динамикой. Численное моделирование будем проводить на предмет исследования АКФ, ВКФ, спектральных и статистических характеристик формируемого ШХС.
Исследование авто- и взаимокорреляционных функций ШХС
Следует сразу отметить принципиальную нереализуемость “чистого” хаоса с помощью ПК в связи с дискретностью представления чисел, т.е. неконтинуальностью значений процесса в ходе его вычисления машиной. Поэтому даже если обработка ведется с самой высокой в системе “MATLAB” точностью, – т.н. системная переменная eps = 2 -52 ≈ 2,2204∙10 -16, – то выходной процесс будет иметь пусть и чрезвычайно длительный, но тем не менее характеризуемый некоторым числом период. Однако по причине огромного периода повторения можно допустить, что на интервале наблюдения процесс непериодичен и в дальнейшем речь будет идти о формировании именно непрерывнозначного и непериодического хаоса.
Вначале определим типовые характеристики ШХС, преобразованных к бинарным путем клиппирования непрерывного хаоса. В этом случае реализация хаос-сигнала определяется моментами пересечения процессом нуля. Это наихудший случай, т.к. при клиппировании теряется существенная часть информации, заложенной в реализации. Графики реализаций (N = 10 и 100) бинарного ШХС и их АКФ длиной равной 10, 100 и 1000 приведены на рис. 2, 3, 4. Начальное состояние формирователя – 1, количество элементов задержки – 1.
Рис.2. Реализация случайно-подобной бинарной хаотической последовательности длиной N = 10 (а) и ее АКФ (б)
Минимальное значение АКФ rmin = - 2 Дж наблюдается при сдвиге τ = 2 c, максимальное – rmax = 2 Дж при сдвиге τ = 6 c. Энергия последовательности – 10 Дж. Пик-фактор 
. Как видно пик-фактор для этой длины даже ниже, чем у последовательностей максимальной длины приблизительно такого же размера (7, 15, …) и соизмерим разве что с кодами Баркера.
Единственная особенность подобного метода формирования хаос-сигналов заключается в том, что необходимо отбрасывать первые несколько значений процесса, т.к. они имеют значительную корреляцию и ухудшают свойства всего сигнала, особенно если он имеет небольшую длительность. Это объясняется тем, что в генераторе еще не установился режим сильной стохастизации колебаний, характеризуемый расщеплением корреляций отсчетов.
Рис.3. Реализация случайно-подобной бинарной хаотической последовательности длиной N = 100 (а) и ее АКФ (б)
Минимальное значение АКФ rmin = - 16 Дж наблюдается при сдвиге τ = 4 c, максимальное – rmax = 18 Дж при сдвиге τ = 6 c. Энергия последовательности – 10 Дж. Пик-фактор. В этом случае пик-фактор такой же, как и у последовательностей максимальной длины.
Рис.4. АКФ случайно-подобной бинарной хаотической последовательности длиной N = 1000
|r|max = 74 Дж и пик-фактор α = 2,34. Как показывают исследования, дальнейшего увеличения α с увеличением длины кодовой последовательности не происходит. Эта величина колеблется в пределах 1…3.
Генератор хаос-процесса был смоделирован согласно [5], т.е. цепь ОС состояла как из диссипативной, так и реактивной нелинейностей.
Второй метод, несколько более простой для практической реализации, состоит в замене реактивной нелинейности на обычную линию задержки. Как показывает численное моделирование, происходит некоторое ухудшение корреляционных свойств (α = 1…5). Улучшить корреляционные свойства в этом случае можно, если на выход генератора подавать либо каждый 2-й, либо каждый 3-й, и т.д. отсчеты (рис. 5, 6). При этом наблюдается более быстрое спадание корреляций между отсчетами и целыми сегментами генерируемых последовательностей.
Рис. 5. Нормированная АКФ бинарных ШХС с N = 100 без прореживания (а) и при прореживании “один из двух” (б)
Уже при выборке каждого второго отсчета заметно уменьшение энергии корреляции, особенно при малых временных сдвигах.
Рис.6. Нормированная АКФ бинарных ШХС с N = 100 при прореживании “один из трех” (а) и “один из восьми” (б)
Из рис.6 (б) видно, что уже при прореживании 1/8 АКФ приближается к предельной (пик-фактор α = 1,182).
Рассмотрим взаимокорреляционные свойства ШХС, сформированных по [5] (рис. 7).
Рис.7. ВКФ бинарных ШХС (x1: начальное состояние 1 В; x2: начальное состояние 1,1 В)
Как видим, при небольшом изменении начальных условий формирователя он порождает совершенно иной, некоррелированный с первым, процесс. Взаимная энергия процессов не превышает 20 Дж, следовательно пик-фактор для ВКФ двух бинарных ШХС равен двум и, как показывает моделирование, при изменении начальных условий не превышает трех–трех с половиной; для сравнения пик-фактор ВКФ М-последовательностей достигает пяти и выше (см. [3]). О хороших взаимокорреляционных свойствах последовательностей, формируемых системами с нелинейной динамикой, можно судить и по АКФ: разные сегменты одной и той же последовательности слабокоррелированы, следовательно, их также можно принять в качестве сигналов-переносчиков информации в СПИ.
Очевидно, что АКФ и ВКФ многоуровневых хаотических последовательностей должны быть по крайней мере не хуже (рис.8, 9).
Рис.8. Реализация 8-уровневой хаотической последовательности (а) и ее нормированная АКФ (б)
Пик-фактор для последовательности (рис.8 (а)) α = 1,1.
Рис.9. ШХС x1 (а), ШХС x2 (б), ВКФ 8-уровневых ШХС x1 и x2 (в)
Как видно из приведенных зависимостей, при энергии сигнала x1 Ex1 = 901,7 Дж и энергии сигнала x2 Ex2 = 877,03 Дж величина ненормированной ВКФ не превышает 35 Дж. Это значит, что как АКФ, так и ВКФ многоуровневых последовательностей значительно лучше бинарных; пик-фактор АКФ многоуровневых ШХС приблизительно равен пик-фактору АКФ М-последовательностей, а взаимная энергия значительно меньше той же величины для ПСП.
Из проведенного численного исследования можно сделать следующий вывод. Корреляционные характеристики случайно-подобных процессов, формируемых хаос-генераторами в общем случае лучше, чем у ПСП. Однако в случае применения МОП возрастает ДД сигнала (при использовании энергетических видов модуляции), о чем уже неоднократно говорилось, но только ШХС способны решить проблему построения огромных ансамблей квазиортогональных сигналов и, как следствие, станет возможным проектирование высокоэффективные СПИ с множественным доступом.
3. Исследование статистических характеристик ШХС
В первую очередь отметим, что как в модели с амплитудной и фазовой нелинейностью, так и в модели с амплитудной нелинейностью и задержкой во времени в цепи ОС отсчеты хаос-сигнала статистически слабо зависимы. Это следует из матрицы корреляционных коэффициентов ансамбля формируемых хаос-процессов (рис. 10).
Рис.10. Графическое представление матрицы корреляционных коэффициентов ансамбля ШХС
На рис. 10 изображена трехмерная фигура показывающая значения коэффициентов корреляции для многоуровневых ШХС [5]. Исследование проведено для ста ШХС длительностью 100 элементов в случае изменения начального состояния от 1 до 10,9 В шагом 0,1. Как следует из табличного представления матрицы корреляционных элементов максимальное значение коэффициента корреляции различных сигналов составляет 0,3052. Это значит, что статистические связи между различными реализациями хаос-процесса незначительны. При этом обратим внимание на простоту формирования ансамбля последовательностей: уменьшая шаг изменения начальных условий, можно значительно увеличить количество формируемых последовательностей, причем согласно проведенному моделированию корреляционные свойства сигналов не ухудшаются.
Определим одномерную плотность распределения формируемых ШХС, произведя статистическое усреднение сигналов по времени. Исследование будем проводить для непрерывнозначных ШХС длиной N = 10000, предварительно сделав следующее замечание. Для быстрого спада статистических связей более важную роль играют задержка в цепи ОС либо ее фазовая нелинейность, а вот амплитудная нелинейность, т.е. вид нелинейной функции в цепи ОС, напрямую влияет на распределение мгновенных значений ШХС на выходе генератора. Например, цепь ОС описывается уравнением
, (2) где xk – следующее значение ШХС;
xk-N – задержанный на N тактов отсчет;
a – константа, определяющая возможность генерации незатухающих колебаний; тогда плотность распределения (гистограмма реализации ШХС) будет выглядеть следующим образом (a=1).
Рис.11. Гистограмма процесса при a = 1
Процесс является сходящимся в точку, при которой динамическая система находит решение уравнения sin(x) = x. Это значит, что процесс стремится к нулю и стохастизация не наступает.
При a = 2,3 наблюдается устойчивое колебание между двумя точками (рис.12 (а), показаны последние 100 точек) и гистограмма имеет вид δ-функций (рис.12 (б)).
Рис.12. a = 2,3. Сигнал в установившемся режиме (а) и его гистограмма (б)
На рис. 13 приведен процесс и его гистограмма при a = 4.
Рис.13. a = 4. Сигнал в установившемся режиме (а) и его гистограмма (б)
При a = 4 колебания в системе уже имеют непериодический характер, однако в пределах небольших интервалов времени процесс достаточно предсказуем.
Значительная стохастизация выходного процесса и расщепление корреляционных связей наблюдается при a ≥ 10 (рис. 14).
Рис.14. a = 10. Сигнал в установившемся режиме (а) и его гистограмма (б)
Следовательно, необходимым условием формирования случайно-подобных процессов со слабыми статистическими связями является максимум коэффициента передачи цепи ОС, который должен быть значительно больше единицы и, как следствие, периодический и явно нелинейный его характер.
Следует помнить, что разговор о статистических характеристиках сигнала может идти, если он случаен. В случае ШХС мы только принимаем его случайным – на самом деле это вполне детерминированный процесс, т.к. описывается строго определенными дифференциальными или разностными уравнениями и при одних и тех же начальных условиях и параметрах схемы его можно повторить сколь угодно раз. Поэтому, чтобы вести речь более корректно, о ШХС говорят как о случайно-подобных процессах.
4. Исследование спектральных свойств ШХС
Для систем связи с расширением спектра информационного сигнала очень важно, чтобы спектральная плотность формируемого широкополосного сигнала была как можно более равномерна. Только в этом случае эффективно используется частотный ресурс и повышается скрытность СПИ.
На рис. 15, 16, 17 изображены амплитудные и фазовые спектры последовательностей рис. 2 (а), 3 (а) и сигнала, корреляционная функция которого изображена на рис. 4 соответственно.
Рис.15. Спектр бинарного ШХС длительностью N = 10
При расчете спектра условно приняты такие же единицы измерения, как и при расчете АКФ: напряжение – вольты; время – секунды. Длительность элементарного импульса ШХС τ0 = 1 c.
Рис.16. Спектр бинарного ШХС длительностью N = 100
Рис.17. Спектр бинарного ШХС длительностью N = 1000
Как видим и амплитудный и фазовый спектры крайне изрезаны и непредсказуемы (особенно при больших N). Единственный минус – это четко выраженные минимумы амплитудного спектра, вызванные дискретностью смены значений ШХС. При переходе к непрерывному хаосу этот недостаток исчезает (рис. 8) и амплитудный спектр практически равномерен в широкой полосе частот.
Рис.18. Спектр непрерывного ШХС с континиумом значений
Заключение
В настоящее время фундаментальные задачи передачи и приема сводится к следующим:
- применение для переноса сообщений сигналов, обеспечивающих повышенную помехозащищенность, скрытность и защиту информации от перехвата;
- создание больших ансамблей сигналов с хорошими взаимокорреляционными свойствами (для систем с множественным доступом);
- оптимальное в определенном смысле восстановление полезной информации по искаженному радиосигналу на приемной стороне.
Во многих практических случаях прием сигналов должен осуществляться при очень малых отношениях сигнал-помеха в силу ограниченной мощности передатчика, а в ряде случаев работа “под шумом” определена целенаправленно. Это накладывает жесткие требования на характеристики радиоприемных устройств.
Хорошие корреляционные, спектральные и статистические свойства ШХС, преобразованных к бинарным [5] и многоуровневых ШХС, а в особенности размер ансамбля ортогональных сигналов, позволяют занять исключительно хорошее место среди классических видов сигналов, применяемых в СПИ. Применение ШХС в СПИ позволит значительно повысить качественные показатели системы. Существенным недостатком предложенных методов является очень высокая чувствительность хаос-генераторов к внешним возмущающим воздействиям и параметрам формирователя.
Список источников см. здесь.
Автор:dvv
Дубровский Василий
г. Минск, Беларусь